抛物线的标准方程

 　　【本讲主要内容】

　　抛物线的定义及相关概念、抛物线的标准方程、抛物线的几何性质

　　【知识掌握】

　　【知识点精析】

　　1. 抛物线定义：

　　平面内与一个定点和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线，定点不在定直线上。它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值(离心率e)不同，当e=1时为抛物线，当0

　　2. 抛物线的标准方程有四种形式，参数的几何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同形式方程的几何性质(如下表)：　　

　　其中为抛物线上任一点。

　　3. 对于抛物线上的点的坐标可设为，以简化运算。

　　4. 抛物线的焦点弦：设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，直线与的斜率分别为，直线的倾斜角为，则有，，，，，，。

　　说明：

　　1. 求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线一般用待定系数法;若由已知条件可知曲线的动点的规律一般用轨迹法。

　　2. 凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。

　　3. 解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。

　　【解题方法指导】

　　例1. 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，且与圆相交的公共弦长等于，求此抛物线的方程。

　　解析：设所求抛物线的方程为或

　　设交点(y1>0)

　　则，∴，代入得

　　∴点在上，在上

　　∴或，∴

　　故所求抛物线方程为或。

　　例2. 设抛物线的焦点为，经过的直线交抛物线于两点，点在抛物线的准线上，且∥轴，证明直线经过原点。

　　解析：证法一：由题意知抛物线的焦点　　故可设过焦点的直线的方程为　

   　由，消去得

　　设，则

　　∵∥轴，且在准线上

　　∴点坐标为

　　于是直线的方程为

　　要证明经过原点，只需证明，即证　　注意到知上式成立，故直线经过原点。