简单讲解抛物线的几何性质

 　　抛物线的简单几何性质

　　(一)教学目标：

　　1.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质;

　　2.能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形;

　　3.在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化 .

　　(二)教学重点：抛物线的几何性质及其运用

　　(三)教学难点：抛物线几何性质的运用

　　(四)教学过程：

　　一、复习引入：(学生回顾并填表格)

　　1.抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点F叫做抛物线的焦点，定直线 叫做抛物线的准线.

　　图形

　　方程

　　焦点

　　准线

　　2.抛物线的标准方程：

　　相同点：(1)抛物线都过原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的 ，即 .

　　不同点：(1)图形关于x轴对称时，x为一次项，y为二次项，方程右端为 、左端为 ;图形关于y轴对称时，x为二次项，y为一次项，方程右端为 ，左端为 . (2)开口方向在x轴(或y轴)正向时，焦点在x轴(或y轴)的正半轴上，方程右端取正号;开口在x轴(或y轴)负向时，焦点在x轴(或y轴)负半轴时，方程右端取负号.

　　二、讲解新课：

　　类似研究双曲线的性质的过程，我们以 为例来研究一下抛物线的简单几何性质：

　　1.范围

　　因为p>0，由方程 可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧;当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.

　　2.对称性

　　以-y代y，方程 不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.

　　3.顶点

　　抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程 中，当y=0时，x=0，因此抛物线 的顶点就是坐标原点.

　　4.离心率

　　抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示.由抛物线的定义可知，e=1.

　　对于其它几种形式的方程，列表如下：(学生通过对照完成下表)

　　标准方程 图形 顶点 对称轴 焦点 准线 离心率

　　注意强调 的几何意义：是焦点到准线的距离.

　　思考：抛物线有没有渐近线?(体会抛物线与双曲线的区别)