简单讲解抛物线的几何性质(2)

　　三、例题讲解：

　　例1 已知抛物线关于x轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点 ，求它的标准方程，并用描点法画出图形.

　　分析：首先由已知点坐标代入方程，求参数p.

　　解：由题意，可设抛物线方程为 ，因为它过点 ，

　　所以 ，即

　　因此，所求的抛物线方程为 .

　　将已知方程变形为 ，根据 计算抛物线在 的范围内几个点的坐标，得

　　x 0 1 2 3 4 …

　　y 0 2 2.8 3.5 4 …

　　描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分

　　点评：在本题的画图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线，也就是说，抛物线没有渐近线.

　　例2斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线交于两点A、B，求线段AB的长.

　　解法1：如图所示，由抛物线的标准方程可知，焦点F(1，0)，准线方程x=—1.

　　由题可知，直线AB的方程为y=x—1

　　代入抛物线方程y2=4x，整理得：x2—6x+1=0

　　解上述方程得x1=3+2 ,x2=3—2

　　分别代入直线方程得y1=2+2 ,y2=2—2

　　即A、B的坐标分别为(3+2 ，2+2 )，(3—2 ，2—2 )

　　∴|AB|=

　　解法2：设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则x1+x2=6,x1•x2=1

　　∴|AB|= |x1—x2|

　　解法3：设A(x1,y1)、B(x2,y2),由抛物线定义可知，

　　|AF|等于点A到准线x=—1的距离|AA′|

　　即|AF|=|AA′|=x1+1

　　同理|BF|=|BB′|=x2+1

　　∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8

　　点评：解法2是利用韦达定理根与系数的关系，设而不求，是解析几何中求弦长的一种普遍适用的方法;解法3充分利用了抛物线的定义，解法简洁，值得引起重视。

　　变式训练：过抛物线 的焦点 作直线，交抛物线于 , 两点，若 ，求 。

　　解： ， ， 。

　　点评：由以上例2以及变式训练可总结出焦点弦弦长： 或 。