高中数学复习笔记 高数学习重点笔记(2)

　　【解】(1)当x≥a时，f(x)=x2+x-a+1=(x+ )2-a+

　　若a≤- 时，则f(x)在[a，+∞]上最小值为f(- )= -a

　　若a>- 时，则f(x)在[a，+∞)上单调递增

　　fmin=f(a)=a2+1

　　(2)当x≤a时，f(x)=x2-x+a+1=(x- )2+a+

　　若a≤ 时，则f(x)在(-∞， 单调递减，fmin=f(a)=a2+1

　　当a> 时，则f(x)在(-∞， 上最小值为f( )= +a

　　综上所述，当a≤- 时，f(x)的最小值为 -a

　　当- ≤a≤ 时，f(x)的最小值为a2+1

　　当a> 时，f(x)的最小值为 +a

　　2、 利用均值不等式

　　典例：已知x、y为正数，且x =1，求x 的最大值

　　分析：x = = (即设法构造定值x =1)= = 故最大值为

　　注：本题亦可用三角代换求解即设x=cos ， =sin 求解，(解略)

　　3、 通过求导，找极值点的函数值及端点的函数值，通过比较找出最值。

　　4、 利用函数的单调性

　　典例：求t 的最小值(分析：利用函数y= 在(1，+ )的单调性求解，解略)

　　5、 三角换元法(略)

　　6、 数形结合

　　例：已知x、y满足x ，求 的最值

　　5、抽象函数的周期问题

　　已知函数y=f(x)满足f(x+1)= —f(x)，求证：f(x)为周期函数

　　证明：由已知得f(x)= —f(x —1)，所以f(x+1)= —f(x)= — (—f(x —1))

　　= f(x —1)即f(t)=f(t —2)，所以该函数是以2为最小正周期的函数。

　　解此类题目的基本思想：灵活看待变量，积极构造新等式联立求解

　　二、圆锥曲线

　　1、 离心率

　　圆(离心率e=0)、椭圆(离心率01)。

　　2、 焦半径

　　椭圆：PF =a+ex 、PF =a-ex (左加右减)(其中P为椭圆上任一点，F 为椭圆左焦点、F 为椭圆右焦点)

　　注：椭圆焦点到其相应准线的距离为

　　双曲线：PF = |ex +a|、PF =| ex -a|(左加右减)(其中P为双曲线上任一点，F 为双曲线左焦点、F 为双曲线右焦点)

　　注：双曲线焦点到其相应准线的距离为

　　抛物线：抛物线上任一点到焦点的距离都等于该点到准线的距离(解题中常用)

　　圆锥曲线中的面积公式：(F 、F 为焦点)

　　设P为椭圆上一点， = ，则三角形F PF 的面积为：b

　　注：|PF | |PF |cos =b 为定值

　　设P为双曲线上一点， = ，则三角形F PF 的面积为：b

　　注：|PF | |PF |sin =b 为定值

　　附：三角形面积公式：

　　S= 底 高= absinC= = r(a+b+c)=(R为外接圆半径，r为内切圆半径)= (这就是著名的海伦公式)

　　三、数列求和

　　裂项法：若 是等差数列，公差为d( )则求 时可用裂项法求解，即 = ( )=

　　求导法： (典例见高三练习册p86例9)

　　倒序求和：(典例见世纪金榜p40练习18)

　　分组求和：求和：1-2+2-4+3-8+4-16+5-32+6-…分析：可分解为一个等差数列和一个等比数列然后分组求和

　　求通项：构造新数列法典例分析：典例见世纪金榜p30例4——构造新数列 即可

　　四、向量与直线

　　向量(a，b)，(c，d)垂直的充要条件是ac+bd=0

　　向量(a，b)，(c，d)平行的充要条件是ad—bc=0

　　附：直线A x+B y+C =0与直线A x+B y+C =0垂直的充要条件是A A + B B =0

　　直线A x+B y+C =0与直线A x+B y+C =0平行的充要条件是A B -A B =0