小学奥数知识点总结 奥数并没有那么难(5)

　　14、数的整除

　　一、基本概念和符号：

　　1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。

　　2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“”;因为符号“∵”，所以的符号“∴”;

　　二、整除判断方法：

　　1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。

　　2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。

　　3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。

　　4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。

　　5. 能被7整除：

　　①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。

　　②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。

　　6. 能被11整除：

　　①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。

　　②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。

　　③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。

　　7. 能被13整除：

　　①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。

　　②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。

　　三、整除的性质：

　　1. 如果a、b能被c整除，那么(a+b)与(a-b)也能被c整除。

　　2. 如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。

　　3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

　　4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。

　　15、余数及其应用

　　基本概念：

　　对任意自然数a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0

　　余数的性质：

　　①余数小于除数。

　　②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。

　　③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。

　　④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。

　　16、余数、同余与周期

　　一、同余的定义：

　　①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。

　　②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。

　　二、同余的性质：

　　①自身性：a≡a(mod m);

　　②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m);

　　③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m);

　　④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m);

　　⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b×d(mod m);

　　⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m);

　　⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c);

　　三、关于乘方的预备知识：

　　①若A=a×b，则MA=Ma×b=(Ma)b

　　②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md

　　四、被3、9、11除后的余数特征：

　　①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或(mod 3);

　　②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod 11);

　　五、费尔马小定理：如果p是质数(素数)，a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(mod p)。