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休闲生活:玩转空心魔方,浅谈数学原理

[作者:qjswc]
2011-09-10 18:40

最近看到了一些关于空心魔方的帖子,也有魔友在QQ交流中谈到了这个问题,主要的问题都是关于空心魔方无法复原的问题,对这个问题我很感兴趣。为此我做了一些思考。
主要的一些疑问是何为空心魔方的未复原状态?怎么才能复原空心魔方?是否也构成组装的错误?

我的结论是:空心魔方没有组装错误!因为受到中心块簇的调制,中心块簇的不存在,或者说不能分辨,正是解放了魔方的组状态,使得空心魔方的角块和棱块簇一定可以有机会不通过重组而达到“复原”状态。(烟头大哥提醒了以后纠正一下:位置上不存在组装错误,色向上存在。)

首先声明本人没有空心魔方,但是我可以把实心三阶魔方的中心盖去掉,在数学构造上就与空心魔方等效了。

如下魔方动画图:

我做了如下实验:
1、
我拆了中心盖,打乱魔方,试图按照三阶魔方教程来“复原”。为什么“复原”要加上双引号呢?呵呵,我这里的复原我得说明一下,有个概念上的偏差,这个复原的意思是各面的颜色相同,呵呵,有人说有偏差吗?回答是有的,因为此时每面只有8个块,是否与当初的中心块对齐了?我们谁都不知道。
2、复原的结果是有剩下两个位移块(角块或棱块)需要对换!

如下魔方动画:

3、我又打乱之后复原了一次,这次竟然复原了!

4、 之后,我仍然没有安装中心块,但是我用贴纸在每个中心块上做了标记,白色中心用W表示,红色R、黄色Y、绿色G、蓝色B、橙色O,贴在了复原状态的没有中 盖的相对应中心螺丝上。有人可能会问,你这样贴和贴颜色有区别吗?我说唯一的区别是视觉上的区别,因为接下来的事情我仍然要打乱魔方以后复原,但是我仍然 不参照中心,因此为了不在视觉上产生动机,我用了代号来区别每个中心,你也可以用1到6数字来区别。


5、我打乱了,试图复原,注意,这个时候我仍然没有参照中心,尽管我已经用标签区别了中心。复原的结果是有两个块需要对换!这个时候实验终于达到了紧张的时刻,我查看了中心块的标签,白色面的中心是W,黄色面是Y,绿色面是O、橙色面是B、蓝色面是R、红色面是G!

空心魔方图


答 案揭晓了!4个中心块发生了错误!他们参与了一次4个中心块的轮换,我们都知道,在合法的状态变换中,是不存在一个簇内要求偶数个块轮换的。现在的情况是 4个中心块要轮换、2个角块(或者棱块)要对换,这个状态合法吗?答:是合法的!那么我们再把标签撕掉呢?看起来合法吗?看起来不合法!正式大家津津乐道 的“无法复原”状态!

我再做个解释,有人会问中心块是不能移动的,那我怎么说中心块要轮换或者对换呢。答:这里说的正确位置是相对周围的角块和棱块而言的,中心块相对周围的块需要换位,其实是周围的块的位置不正确。

6、之后我又试了一次,这次仍然有一对位移块(角块或棱块)需要对换,另外,中心块的状态是有3对需要对换,也就是说一共有4组对换,显然,也是合法状态。

7、然后我又试了几次,发现没有在颜色方向上的错误,这是不是可以这样解释:一旦定义了颜色方向的代号,计算各个簇的色向和,无论从哪个方向来看总是一样的,这是魔方的Identiy守恒性的表现。
本 人有浅薄的盲拧能力,无乱从哪个视角计算色向和,总是不变的,那么计算偶环数呢?三阶魔方的状态变换定律说偶环数为奇数则为扰动簇,之后我发现总的偶环数 为奇数是组装错误。也就是说,假使是一个实心魔方,处于某个混乱状态,我们不通过操作,仅仅通过观察和计算,就能判断这个魔方是否可以被复原,而且这种计 算与我们从前面还是从后面观察魔方是没有任何关系的。但是放在空心魔方上非常奇怪,因为一个混乱的空心魔方,你能不通过操作,而仅仅通过直接计算,得出能 否被复原吗?显然是不能的!讲到这里先让我脑子休息一下,自己有点晕了,呵呵……

好,行了,我继续了,我刚才在想这是为什么。因为空心魔方的复原其实是受中心块调制的,这个调制的过程是在复原过程中才能体现出来的,所以没办法一开始就认定是否能复原。

但是颜色的方向最后发现总是正确的,我这里说的正确是根据个人的初始定义的,也就是说从这个定义出发,在任何状态下计算魔方各簇的颜色方向和,是不变的!强吧!没错吧?

这样的话是否就可以得出结论:随机复原空心魔方的成功率是50%,只存在环的奇偶性的问题。
也就是每次不参照中心块,复原和不复原的机会是一半一半,再强调一下,这里的复原是参照每面的八个颜色而言的,不是参照中心块而言的。

这样的话引出下面一个问题就是如何成功复原空心魔方?
哈 哈,我自己找了一个方法,自称为最烂的方法,但是是万能方法,不是说偶数个中心块轮换一次就扰动了一次吗?那我就转一下D或者u(一样的,汗),或者 D’、u’都行的,记得转一下就行了,这样的话中间层的四个中心块不是轮换一次了吗?然后再参照底层重新来复原,记得,这个时候是从第二层开始复原的,复 原下去你就发现最后能复原了。那么再来轮换一次呢?又不能复原了!(但是要保证参照的对象,比如我是剩下PLL不能完成,就是说要对换的位移块在顶层,因 此我可以轮换中间四个中心块,保证可以从中间层开始做。)


讲到这里我想问题应该差不多了。

最后归纳一下几个结论:
1、
空心魔方在“外观”上不存在组装错误,即使你真的把它拆了重装,你也一定可以复原!(纠正:色向不一定,位置一定可以复原)
2、
空心魔方没有特别的复原方法,随机复原的前提下,成功率总是50%,或者说合法组状态的外观复原与非复原状态数五五开。与操作者的水平是无关的。
3、
最后可能剩两个唯一块要对换,能够通过一定的方法复原,需要中心块扰动的参与。为什么说是一定的方法,因为你如果重新打乱了再复原,那么成功率仍然是50%。至于到底用什么方法,那是后话了。
4、
空心魔方的主要价值在于观赏性(个人意见哦,不能说是结论,哈哈)

 

我是属于山寨版的,不敢擅闯理论区,也没具备专业的数学知识,只是参考了N阶变换定律之类的文章,如果前辈们感觉我哪里讲得不对,还望指正,谢谢!

图中,中心块的字母我是用透明胶把字母贴在中心块上的,就是代表了中心块的走向。
增加了第三张图,大家可以看一下,第一张图我是没有做标签,其实是第三张图的状态,和第二张比较一下,一对棱块要对换,还是看一下第三张图和第二张图的中间四个中心块的标签,发生了一次四个中心的轮换,这正是本文要讲的关键。


额。。。。。烟头大哥提醒了,随意组装的空心魔方在色向上可能无法翻正,这点疏忽了,纠正一下!

我 得再纠正一下:不同的复原方法最后可能出现不同的情况,比如用角先法和桥式解法,最后不会出现特殊情况,这是因为这两个体系的最后一步都是与中心块一起换 位的,也就是说,最后一步的中心块位置,本身还没有正确,于是当棱块和角块都正确了以后,中心块必定构成基态簇,不会出现特殊情况。

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