关于牛吃草的问题的各种解法

英国数学家牛顿(1642—1727)说过：“在学习科学的时候，题目比规则还有用些”。因此在他的著作中，每当阐述理论时，总是把许多实例放在一起。在牛顿的《普遍的算术》一书中，有一个关于求牛和头数的题目，人们称之为牛顿的牛吃草问题。

主要类型：

1、求时间

2、求头数

除了总结这两种类型问题相应的解法，在实践中还要有培养运用“牛吃草问题”的解题思想解决实际问题的能力。

基本思路：

①在求出“每天新生长的草量”和“原有草量”后，已知头数求时间时，我们用“原有草量÷每天实际减少的草量(即头数与每日生长量的差)”求出天数。

②已知天数求只数时，同样需要先求出“每天新生长的草量”和“原有草量”。

③根据(“原有草量”+若干天里新生草量)÷天数”，求出只数。

基本公式：

解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是∶

(1)草的生长速度=对应的牛头数×吃的较多天数-相应的牛头数×吃的较少天数÷(吃的较多天数-吃的较少天数);

(2)原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数;`

(3)吃的天数=原有草量÷(牛头数-草的生长速度);

(4)牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度

第一种：一般解法

“有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽;养牛23头，9天把草吃尽。如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢?并且牧场上的草是不断生长的。”

一般解法：把一头牛一天所吃的牧草看作1，那么就有：

(1)27头牛6天所吃的牧草为：27×6=162 (这162包括牧场原有的草和6天新长的草。)

(2)23头牛9天所吃的牧草为：23×9=207 (这207包括牧场原有的草和9天新长的草。)

(3)1天新长的草为：(207-162)÷(9-6)=15

(4)牧场上原有的草为：27×6-15×6=72

(5)每天新长的草足够15头牛吃，21头牛减去15头，剩下6头吃原牧场的草：72÷(21-15)=72÷6=12(天)

所以养21头牛，12天才能把牧场上的草吃尽。

第二种：公式解法

有一片牧场，草每天都匀速生长(草每天增长量相等)，如果放牧24头牛，则6天吃完牧草，如果放牧21头牛，则8天吃完牧草，假设每头牛吃草的量是相等的。(1)如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草?(2)要使牧草永远吃不完，最多可放多少头牛?

解答：

1) 草的生长速度：(21×8-24×6)÷(8-6)=12(份)

原有草量：21×8-12×8=72(份)

16头牛可吃：72÷(16-12)=18(天)

2) 要使牧草永远吃不完，则每天吃的份数不能多于草每天的生长份数

所以最多只能放12头牛。