数学知识竞赛题分享 数学知识竞赛题推荐(4)

　　第10届IMO

　　1. 求证有且仅有一个三角形，它的边长为连续整数，有一个角是另外一个角的两倍。

　　2. 试找出所有的正整数 n，其各位数的乘积等于 n2 - 10n - 22。

　　3. a, b, c 是不全为0的实数。x1, x2, ... , xn 是满足下述方程组的未知数：

　　axi2 + bxi + c = xi+1, 对于 i=1,2,...,n-1;

　　axn2 + bxn + c = x1;

　　若设 M= (b - 1)2 - 4ac ，求证：

　　a. 若 M<0，则方程组无解;

　　b. 若 M=0，则方程组恰有一解;

　　c. 若 M>0，则方程组不止有一个解。

　　4. 求证任何四面体上都有一个顶点使得经过该顶点的三条边可构成一个三角形的三边。

　　5. 令f是定义在所有实数并取值实数的函数，并且对于某个 a>0及任何 x>0 有

　　f(x + a) = 1/2 +√[f(x)-f(x)2]

　　求证 f 是周期函数，并且当 a=1时请给出一个非常值函数的例子。

　　6. 对任何自然数 n，试计算下式的值

　　[(n+1)/2] + [(n+2)/4] + [(n+4)/8] + ... + [(n+2k)/2k+1] + ...

　　其中[x]表示不超过 x 的最大整数。

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